Μοντέλο της OpenAI ανατρέπει εικασία του Έρντος

Ένα γενικού σκοπού μοντέλο συλλογισμού της OpenAI παράτησε τις γεωμετρικές διατάξεις και στράφηκε στην αλγεβρική θεωρία αριθμών για να διαψεύσει εικασία που είχε θέσει ο Παλ Έρντος το 1946 (OpenAI). Σε αυτή τη μετατόπιση πεδίου, όχι στην ταχύτητα ή στον όγκο υπολογισμών, στήνεται η συζήτηση για το αν η τεχνητή νοημοσύνη μπαίνει πραγματικά ως συνεργός στη θεωρητική έρευνα.

Το πρόβλημα: ένα ερώτημα που ακούγεται παιδικό

Φαντάσου ότι καρφώνεις n πινέζες σε ένα χαρτί. Πόσα ζευγάρια πινέζων μπορούν να απέχουν ακριβώς ένα εκατοστό μεταξύ τους; Αυτό είναι το πρόβλημα μοναδιαίας απόστασης που έθεσε ο Έρντος το 1946. Επί 80 χρόνια, οι ειδικοί στη διακριτή γεωμετρία πίστευαν ότι ο αριθμός αυτός μεγαλώνει σχεδόν γραμμικά με το n, ίσως ελαφρώς πιο γρήγορα, αλλά πρακτικά κοντά στο n (DROPS).

Το αποτέλεσμα της OpenAI έσπασε αυτό το πλαφόν. Έδειξε ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες σημείων όπου τα ζευγάρια μοναδιαίας απόστασης μεγαλώνουν αυστηρά πιο γρήγορα από οποιαδήποτε σχεδόν γραμμική εκτίμηση (arXiv). Σε ξεχωριστό preprint, ο μαθηματικός Γουίλ Σόουιν μετέφρασε αυτή τη νίκη σε χειροπιαστό νούμερο: η σωστή απάντηση είναι τουλάχιστον n^1.014 ζευγάρια, μετρήσιμα και ρητά (arXiv).

Η μετατόπιση: από καρφίτσες σε εργοστάσιο αριθμών

Εδώ είναι το πραγματικά εντυπωσιακό. Επί δεκαετίες, οι μαθηματικοί κοιτούσαν τις καρφίτσες πάνω στο χαρτί. Δοκίμαζαν πλέγματα, σχήματα, χωρικές διατάξεις, ψάχνοντας τη βέλτιστη γεωμετρική σύνθεση. Το μοντέλο της OpenAI δεν συνέχισε αυτό το παιχνίδι. Έκανε κάτι ξένο: έστησε πρώτα ένα αριθμητικό σύμπαν, ένα είδος εργοστασίου αριθμών με ιδιαίτερη εσωτερική δομή, και άφησε τη διάταξη των σημείων να προκύψει φυσικά μέσα από αυτό (OpenAI, arXiv).

Με άλλα λόγια, αντί να ρωτήσει «πώς διατάσσω καλύτερα τα σημεία», το μοντέλο ρώτησε «τι είδους αριθμοί θα γεννούσαν τέτοια διάταξη». Η γεωμετρία έγινε παρενέργεια της αριθμητικής. Αυτή η αλλαγή γλώσσας είναι ασυνήθιστη ακόμη και για κορυφαίους ανθρώπους μαθηματικούς, και είναι ο λόγος που η ιστορία ξεπέρασε γρήγορα τα όρια του ειδικού Τύπου.

Γιατί δεν είναι σαν τα προηγούμενα

Οι υπολογιστές βοηθούν στις αποδείξεις εδώ και δεκαετίες. Στο θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, οι άνθρωποι έβαλαν τη στρατηγική και η μηχανή εξάντλησε χιλιάδες περιπτώσεις (Britannica). Συστήματα όπως το Lean ελέγχουν με αυστηρότητα κάθε βήμα μιας ήδη γραμμένης απόδειξης, χωρίς να επινοούν τη βασική ιδέα (Lean). Το AlphaGeometry της DeepMind εντυπωσίασε σε προβλήματα Μαθηματικής Ολυμπιάδας, όμως αυτά έχουν γνωστή δομή και προβλέψιμη λύση (DeepMind, Nature).

Εδώ έχουμε κάτι άλλο. Ένα γενικό μοντέλο, μια ανοιχτή ερευνητική εικασία 80 ετών, και μια διαδρομή λύσης που δεν περίμενε κανείς από το προφανές πεδίο.

Πού στεκόμαστε σήμερα, με τα πόδια στη γη

Το συγκεκριμένο μοντέλο δεν έχει κατονομαστεί δημόσια. Είναι ένα εσωτερικό σύστημα συλλογισμού της OpenAI (OpenAI PDF). Η απόδειξη ελέγχθηκε και αναδιατυπώθηκε από εννέα μαθηματικούς, ανάμεσά τους ο κάτοχος του Fields Medal Τιμ Γκάουερς, ο Νόγκα Άλον και ο ίδιος ο Σόουιν (arXiv). Αυτή είναι σοβαρή επικύρωση από την επιστημονική κοινότητα.

Όμως δεν έχουμε ακόμη δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό με κρίση από ομότιμους, ούτε αυστηρή ψηφιακή επαλήθευση σε σύστημα τύπου Lean ή Coq. Βρισκόμαστε σε επίπεδο προδημοσίευσης (arXiv). Το συνολικό πρόβλημα του Έρντος παραμένει ανοιχτό. Απλώς ξέρουμε τώρα ότι η σωστή απάντηση κρύβεται πιο μακριά από όσο φανταζόμασταν.

Αν αυτός ο τρόπος δουλειάς αποδειχθεί επαναλήψιμος, με τον άνθρωπο να θέτει το πρόβλημα, τη μηχανή να προτείνει απρόσμενη διαδρομή και την κοινότητα να ελέγχει, τότε το βασικό εμπόδιο στη θεωρητική έρευνα μπορεί σταδιακά να μετατοπιστεί από την παραγωγή ιδεών στην επαλήθευσή τους. Αυτό ίσως αξίζει περισσότερη προσοχή από οποιοδήποτε νέο μαθηματικό φράγμα.